softmax回归的简洁实现
我们发现(通过深度学习框架的高级API能够使实现)(softmax)线性(回归变得更加容易)。
同样，通过深度学习框架的高级API也能更方便地实现softmax回归模型。
本节继续使用Fashion-MNIST数据集，并保持批量大小为256。
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l
初始化模型参数
[softmax回归的输出层是一个全连接层]。
因此，为了实现我们的模型，我们只需在Sequential中添加一个带有10个输出的全连接层。
同样，在这里Sequential并不是必要的，但它是实现深度模型的基础。
我们仍然以均值0和标准差0.01随机初始化权重。
'''
PyTorch不会隐式地调整输入的形状。
因此，我们在线性层前定义了展平层（flatten），来调整网络输入的形状
'''
net = nn.Sequential(nn.Flatten(), nn.Linear(784, 10))
def init_weights(m):
if type(m) == nn.Linear:
nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)
net.apply(init_weights);
nn.Sequential：
这是 PyTorch 里的一个容器模块，
其功能是按顺序依次排列多个神经网络层。
在执行前向传播时，输入数据会依照层的先后顺序依次通过各个层。nn.Flatten()：
该层的主要作用是把输入的多维张量展平为一维张量。
方便后续输入到全连接层。nn.Linear(784, 10)：
这是一个全连接层（线性层）。
全连接层会对输入的 784 维向量进行线性变换，输出一个 10 维的向量。net.apply(init_weights)：
apply是nn.Module类的一个方法，它会递归地把指定的函数（这里是init_weights）应用到net网络的每一个子模块上。也就是说，对于net中的每个子层，都会调用init_weights函数进行权重初始化。
重新审视Softmax的实现
在前面例子中，我们计算了模型的输出，然后将此输出送入交叉熵损失。
从数学上讲，这是一件完全合理的事情。
然而，从计算角度来看，指数可能会造成数值稳定性问题。
回想一下，
softmax函数
y
^
j
=
exp
(
o
j
)
∑
k
exp
(
o
k
)
\hat y_j = \frac{\exp(o_j)}{\sum_k \exp(o_k)}
y^j=∑kexp(ok)exp(oj)，
其中
y
^
j
\hat y_j
y^j是预测的概率分布。
o
j
o_j
oj是未规范化的预测
o
\mathbf{o}
o的第
j
j
j个元素。如果
o
k
o_k
ok中的一些数值非常大，那么
exp
(
o
k
)
\exp(o_k)
exp(ok)可能大于数据类型容许的最大数字，即上溢（overflow）。
这将使分母或分子变为inf（无穷大），
最后得到的是0、inf或nan（不是数字）的
y
^
j
\hat y_j
y^j。
在这些情况下，我们无法得到一个明确定义的交叉熵值。
解决这个问题的一个技巧是：
在继续softmax计算之前，先从所有
o
k
o_k
ok中减去
max
(
o
k
)
\max(o_k)
max(ok)。
这里可以看到每个
o
k
o_k
ok按常数进行的移动不会改变softmax的返回值：
y ^ j = exp ( o j − max ( o k ) ) exp ( max ( o k ) ) ∑ k exp ( o k − max ( o k ) ) exp ( max ( o k ) ) = exp ( o j − max ( o k ) ) ∑ k exp ( o k − max ( o k ) ) . \begin{aligned} \hat y_j & = \frac{\exp(o_j - \max(o_k))\exp(\max(o_k))}{\sum_k \exp(o_k - \max(o_k))\exp(\max(o_k))} \\ & = \frac{\exp(o_j - \max(o_k))}{\sum_k \exp(o_k - \max(o_k))}. \end{aligned} y^j=∑kexp(ok−max(ok))exp(max(ok))exp(oj−max(ok))exp(max(ok))=∑kexp(ok−max(ok))exp(oj−max(ok)).
在减法和规范化步骤之后，可能有些
o
j
−
max
(
o
k
)
o_j - \max(o_k)
oj−max(ok)具有较大的负值。
由于精度受限，
exp
(
o
j
−
max
(
o
k
)
)
\exp(o_j - \max(o_k))
exp(oj−max(ok))将有接近零的值，即下溢（underflow）。
这些值可能会四舍五入为零，使
y
^
j
\hat y_j
y^j为零，
并且使得
log
(
y
^
j
)
\log(\hat y_j)
log(y^j)的值为-inf。
反向传播几步后，我们可能会发现自己面对一屏幕可怕的nan结果。
尽管我们要计算指数函数，但我们最终在计算交叉熵损失时会取它们的对数。
通过将softmax和交叉熵结合在一起，可以避免反向传播过程中可能会困扰我们的数值稳定性问题。
如下面的等式所示，我们避免计算
exp
(
o
j
−
max
(
o
k
)
)
\exp(o_j - \max(o_k))
exp(oj−max(ok))，
而可以直接使用
o
j
−
max
(
o
k
)
o_j - \max(o_k)
oj−max(ok)，因为
log
(
exp
(
⋅
)
)
\log(\exp(\cdot))
log(exp(⋅))被抵消了。
log ( y ^ j ) = log ( exp ( o j − max ( o k ) ) ∑ k exp ( o k − max ( o k ) ) ) = log ( exp ( o j − max ( o k ) ) ) − log ( ∑ k exp ( o k − max ( o k ) ) ) = o j − max ( o k ) − log ( ∑ k exp ( o k − max ( o k ) ) ) . \begin{aligned} \log{(\hat y_j)} & = \log\left( \frac{\exp(o_j - \max(o_k))}{\sum_k \exp(o_k - \max(o_k))}\right) \\ & = \log{(\exp(o_j - \max(o_k)))}-\log{\left( \sum_k \exp(o_k - \max(o_k)) \right)} \\ & = o_j - \max(o_k) -\log{\left( \sum_k \exp(o_k - \max(o_k)) \right)}. \end{aligned} log(y^j)=log(∑kexp(ok−max(ok))exp(oj−max(ok)))=log(exp(oj−max(ok)))−log(k∑exp(ok−max(ok)))=oj−max(ok)−log(k∑exp(ok−max(ok))).
我们也希望保留传统的softmax函数，以备我们需要评估通过模型输出的概率。
但是，我们没有将softmax概率传递到损失函数中，
而是[在交叉熵损失函数中传递未规范化的预测，并同时计算softmax及其对数]，
这是一种类似"LogSumExp技巧"的聪明方式。
loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')
- nn.CrossEntropyLoss
nn.CrossEntropyLoss是 PyTorch 中用于计算交叉熵损失的类。
在分类问题中，它结合了nn.LogSoftmax()和nn.NLLLoss()两个操作，适用于多分类任务。其输入通常是模型的原始输出（未经过 Softmax 激活函数处理）和真实标签。- reduction=‘none’
reduction是nn.CrossEntropyLoss类的一个重要参数，它控制着如何对每个样本的损失进行汇总，具体有以下几种取值：
'none'：不进行任何汇总操作，直接返回每个样本的损失值，返回的结果是一个与输入样本数量相同的张量。'mean'：（默认值）对每个样本的损失求平均值，返回一个标量值。'sum'：对每个样本的损失求和，返回一个标量值。
优化算法
在这里，我们(使用学习率为0.1的小批量随机梯度下降作为优化算法)。
这与我们在线性回归例子中的相同，这说明了优化器的普适性。
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.1)
net.parameters() 是一个生成器，它会返回模型中所有需要学习的参数（如权重和偏置）。这些参数会被传递给优化器，以便优化器在训练过程中对它们进行更新。
torch.optim.SGD 是 PyTorch 中实现随机梯度下降优化算法的类。它接受模型的参数和一些超参数作为输入，用于更新模型的参数。
训练
接下来我们[调用] 之前(定义的训练函数来训练模型)。
num_epochs = 10
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)
